camciicamcioo's: Matriks Matematika

Matriks Matematika

1. Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

Jenis Kelamin Kelas	Putra	Putri	Jumlah
II Ak 1	28	15	43
II Ak 2	32	10	42
Jumlah	60	25	85

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa

, kurung siku

, atau kurung bergaris dua

Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.

Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

baris ke-1

baris ke-2

Contoh :

Kolom Kolom Kolom

Ke-1 Ke-2 Ke-3

A =

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo

ditulis

atau

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

2. Hubungan Matriks Dengan Matriks.

Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B

Contoh :

A =

dan B =

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama

b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.

2. Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A =

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A =

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah

baris = jumlah kolom

Contoh : A =

, jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol

Matriks Nol adalah Suatu matriks

yang setiap unsurnya 0 berordo

,ditulis

dengan huruf O.

Contoh :

5. Matriks Segi Tiga

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau

diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh : C =

, D =

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali

unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contoh : E =

7. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya

sama.

Contoh : F =

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada

diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh : I₃ =

, I₄ =

I₃adalah matriks identitas ordo 3 dan I₄ adalah matriks identitas ordo 4

9. Matriks Simetris

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j

sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga

Contoh : G =

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

10. Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

Contoh :

11. Matriks Tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh :

12. Matriks Transpos ( notasi A^t )

Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama

matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=

elemen baris ketiga matriks A.

Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah A^t =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

Sifat-sifat matriks transpos

1) ( A + B )^t = A^t+ B^t

2) ( A^t )^t = A

3) ( AB )^t = B^t A^t

3. Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.

Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat

dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh : Jika A =

dan B =

Maka A + B =

A – B =

Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks

1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)

2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)

3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)

2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Jika A suatu ordo m

n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA

adalah metriks ordo m

n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap

unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.

Jadi, jika A

, maka: kA

Contoh : Misal A =

maka 3A = 3

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika a dan b bilangan real, maka :

1) ( a + b )A = aA + bA

2) a ( A + B ) = aA + aB

3) a( bA ) = (ab)A

3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)

Matriks A yang berordo m

p dangan suatu matriks B yang berordo p

n adalah matriks C

yang berordo m

A_mp.B _pn = C _mn.

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :

Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A =

ordo matriks 2

B =

ordo matriks 3

C = A . B

ordo matriks 2

Dimana

Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

samping disebut determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A adalah

atau det A = ad – bc

4. Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

samping disebut determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A adalah

atau det A = ad – bc

Contoh : Jika A =

maka det A =

= ( 1)(4) – (2)(-3)

= 4 +6

= 10

2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks A =

Cara menentukan det A sebagai berikut :

Cara 1 : det A =

Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus

det A =

- - - + + +

3). Invers Matriks Bujur Sangkar

Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.

Contoh : Misal A =